Terminale spécialité maths

Fonction logarithme népérien : 10 exercices corrigés Terminale

Révisez fonction logarithme népérien : dix exercices de difficulté progressive, accompagnés de corrections.

L'essentiel à retenir

  • ln⁡\ln est définie sur ]0,+∞[]0,+\infty[ et strictement croissante.
  • ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab)=\ln a+\ln b pour a,b>0a,b>0, et ln⁡(ex)=x\ln(e^x)=x.
  • La dérivée de ln⁡(u)\ln(u) est u′/uu'/u lorsque u>0u>0.

Exercice 1 — Équation logarithmique

Résoudre ln⁡(x)=3\ln(x)=3 en indiquant le domaine.
Corrigé détaillé
Le logarithme existe pour x>0x>0. Par application de l'exponentielle, x=e3x=e^3. Comme e3>0e^3>0, x=e3\boxed{x=e^3} est la solution unique.

Exercice 2 — Identité de logarithmes

Simplifier ln⁡(12)−ln⁡(3)+ln⁡(2)\ln(12)-\ln(3)+\ln(2) et justifier les propriétés utilisées.
Corrigé détaillé
Les arguments sont positifs. Par les formules du quotient et du produit, ln⁡12−ln⁡3=ln⁡(12/3)=ln⁡4\ln12-\ln3=\ln(12/3)=\ln4, puis ln⁡4+ln⁡2=ln⁡8\ln4+\ln2=\ln8. Le résultat est ln⁡8\boxed{\ln8}.

Exercice 3 — Inéquation

Résoudre ln⁡(x−1)≥ln⁡3\ln(x-1)\ge\ln3.
Corrigé détaillé
Condition de définition : x−1>0x-1>0, donc x>1x>1. Le logarithme est strictement croissant, ainsi x−1≥3x-1\ge3, soit x≥4x\ge4. L'ensemble solution est [4,+∞[[4,+\infty[.

Exercice 4 — Dérivée logarithmique

Dériver f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln(x^2+1) puis étudier son sens de variation.
Corrigé détaillé
x2+1>0x^2+1>0 partout ; f′(x)=2x/(x2+1)f'(x)=2x/(x^2+1). Le dénominateur est positif, donc f′f' a le signe de xx. La fonction décroît jusqu'à 00 et croît après ; son minimum est f(0)=0f(0)=0.

Exercice 5 — Équation de produit

Résoudre ln⁡x+ln⁡(x−2)=ln⁡3\ln x+\ln(x-2)=\ln3.
Corrigé détaillé
Le domaine impose x>2x>2. Par la propriété du produit, ln⁡[x(x−2)]=ln⁡3\ln[x(x-2)]=\ln3, donc x2−2x=3x^2-2x=3, soit (x−3)(x+1)=0(x-3)(x+1)=0. Seule la racine x=3x=3 appartient au domaine.

Exercice 6 — Limite à zéro

Déterminer lim⁡x→0+xln⁡x\lim_{x\to0^+}x\ln x.
Corrigé détaillé
Il s'agit de la forme 0×(−∞)0\times(-\infty). Posons t=1/x→+∞t=1/x\to+\infty : xln⁡x=−(ln⁡t)/tx\ln x=-(\ln t)/t. La croissance comparée ln⁡t/t→0\ln t/t\to0 donne lim⁡x→0+xln⁡x=0\boxed{\lim_{x\to0^+}x\ln x=0}.

Exercice 7 — Logarithme et tangente

Pour f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x, déterminer la tangente en x=1x=1 et la position de la courbe par rapport à elle.
Corrigé détaillé
f(1)=0f(1)=0 et f′(1)=1f'(1)=1 : la tangente est y=x−1y=x-1. Comme f′′(x)=−1/x2<0f''(x)=-1/x^2<0, la fonction est concave ; sa courbe est en dessous de la tangente, donc ln⁡x≤x−1\ln x\le x-1 pour tout x>0x>0.

Exercice 8 — Recherche d'un seuil

Trouver le plus petit entier nn vérifiant (0,9)n<0,1(0{,}9)^n<0{,}1.
Corrigé détaillé
En prenant les logarithmes, nln⁡0,9<ln⁡0,1n\ln0{,}9<\ln0{,}1. Puisque ln⁡0,9<0\ln0{,}9<0, on inverse le sens : n>ln⁡0,1/ln⁡0,9≈21,85n>\ln0{,}1/\ln0{,}9\approx21{,}85. Le plus petit entier est 22\boxed{22}.

Exercice 9 — Dérivée d'un produit

Étudier les variations de f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x sur ]0,+∞[]0,+\infty[.
Corrigé détaillé
La dérivée vaut f′(x)=ln⁡x+1f'(x)=\ln x+1. Elle s'annule en x=e−1x=e^{-1}, est négative avant, positive après. La fonction admet un minimum global en 1/e1/e, de valeur f(1/e)=−1/ef(1/e)=-1/e.

Exercice 10 — Fonction composée

Résoudre ln⁡(2x+1)=2ln⁡x\ln(2x+1)=2\ln x en vérifiant les conditions sur xx.
Corrigé détaillé
Le domaine est x>0x>0. Or 2ln⁡x=ln⁡(x2)2\ln x=\ln(x^2) ; par injectivité, 2x+1=x22x+1=x^2, soit x2−2x−1=0x^2-2x-1=0. Les racines sont 1±21\pm\sqrt2 ; seule la positive convient, donc x=1+2\boxed{x=1+\sqrt2}.

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