Terminale spécialité maths

Calcul intégral : 10 exercices corrigés Terminale

Dix exercices progressifs corrigés sur calcul intégral, avec rappels et méthodes.

L'essentiel à retenir

  • ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a) pour une primitive FF de ff.
  • La linéarité et la relation de Chasles permettent de simplifier les calculs.
  • Une intégrale d'une fonction positive représente une aire algébrique positive.

Exercice 1 — Intégrale de polynôme

Calculer ∫02(3x2+2x) dx\int_0^2(3x^2+2x)\,dx.
Corrigé détaillé
Une primitive est F(x)=x3+x2F(x)=x^3+x^2. Par le théorème fondamental, ∫02f(x) dx=F(2)−F(0)=(8+4)−0=12\int_0^2f(x)\,dx=F(2)-F(0)=(8+4)-0=\boxed{12}. On peut vérifier en séparant les deux termes par linéarité.

Exercice 2 — Exponentielle sur un intervalle

Calculer I=∫01e2x dxI=\int_0^1e^{2x}\,dx.
Corrigé détaillé
La fonction F(x)=e2x/2F(x)=e^{2x}/2 est une primitive puisque F′(x)=e2xF'(x)=e^{2x}. Ainsi I=F(1)−F(0)=(e2−1)/2I=F(1)-F(0)=\boxed{(e^2-1)/2}. L'intégrande étant positive, le résultat est positif.

Exercice 3 — Aire entre deux courbes

Calculer l'aire comprise entre y=2xy=2x et y=x2y=x^2 sur [0,2][0,2].
Corrigé détaillé
Sur [0,2][0,2], 2x−x2=x(2−x)≥02x-x^2=x(2-x)\ge0. L'aire vaut donc ∫02(2x−x2) dx=[x2−x3/3]02=4−8/3=4/3\int_0^2(2x-x^2)\,dx=[x^2-x^3/3]_0^2=4-8/3=\boxed{4/3} unité d'aire.

Exercice 4 — Intégrale trigonométrique

Déterminer ∫0π/2cos⁡x dx\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx et justifier le signe.
Corrigé détaillé
La primitive de cos⁡x\cos x est sin⁡x\sin x. L'intégrale vaut [sin⁡x]0π/2=1−0=1[\sin x]_0^{\pi/2}=1-0=\boxed1. Le cosinus est positif sur l'intervalle, ce qui explique le résultat positif.

Exercice 5 — Fonction définie par une intégrale

Pour x≥0x\ge0, on définit F(x)=∫0x(2t+1) dtF(x)=\int_0^x(2t+1)\,dt. Calculer F(x)F(x) et F′(x)F'(x).
Corrigé détaillé
Une primitive de 2t+12t+1 est t2+tt^2+t, donc F(x)=[t2+t]0x=x2+xF(x)=[t^2+t]_0^x=\boxed{x^2+x}. Par dérivation, F′(x)=2x+1F'(x)=2x+1 : on retrouve l'intégrande évalué en xx.

Exercice 6 — Relation de Chasles

Sachant ∫02f(x)dx=5\int_0^2f(x)dx=5 et ∫27f(x)dx=−3\int_2^7f(x)dx=-3, calculer ∫07f(x)dx\int_0^7f(x)dx et ∫70f(x)dx\int_7^0f(x)dx.
Corrigé détaillé
La relation de Chasles donne ∫07f=∫02f+∫27f=5+(−3)=2\int_0^7 f=\int_0^2f+\int_2^7f=5+(-3)=\boxed2. En échangeant les bornes, l'intégrale change de signe : ∫70f=−2\int_7^0f=\boxed{-2}.

Exercice 7 — Valeur moyenne

Calculer la valeur moyenne de f(x)=x2f(x)=x^2 sur [0,3][0,3].
Corrigé détaillé
La valeur moyenne est m=13−0∫03x2dxm=\frac1{3-0}\int_0^3x^2dx. Une primitive est x3/3x^3/3, donc ∫03x2dx=9\int_0^3x^2dx=9. Ainsi m=3\boxed{m=3}. Il s'agit de la hauteur du rectangle de base 3 ayant la même aire.

Exercice 8 — Intégrale d'une dérivée

Si f(x)=ex+x2f(x)=e^x+x^2, calculer ∫01f′(x)dx\int_0^1f'(x)dx sans intégrer terme à terme.
Corrigé détaillé
Le théorème fondamental donne directement ∫01f′(x)dx=f(1)−f(0)\int_0^1f'(x)dx=f(1)-f(0). Or f(1)=e+1f(1)=e+1 et f(0)=1f(0)=1. L'intégrale vaut e\boxed e. La méthode évite un calcul superflu.

Exercice 9 — Intégrale avec fonction paire

Calculer ∫−22x2 dx\int_{-2}^{2}x^2\,dx par symétrie, puis par primitive.
Corrigé détaillé
La fonction x2x^2 est paire, donc l'intégrale vaut 2∫02x2dx=2[x3/3]02=16/32\int_0^2x^2dx=2[x^3/3]_0^2=\boxed{16/3}. Par primitive directe, [x3/3]−22=(8−(−8))/3[x^3/3]_{-2}^2=(8-(-8))/3, même résultat.

Exercice 10 — Encadrement d'une intégrale

Pour x∈[0,1]x\in[0,1], 1≤ex≤e1\le e^x\le e. Encadrer I=∫01exdxI=\int_0^1e^xdx puis calculer II exactement.
Corrigé détaillé
Par croissance de l'intégrale, ∫011dx≤I≤∫01edx\int_0^1 1dx\le I\le\int_0^1edx, donc 1≤I≤e1\le I\le e. Une primitive de exe^x étant exe^x, I=e−1\boxed{I=e-1}, qui appartient bien à l'intervalle [1,e][1,e].

Besoin d'aide sur ce chapitre ?

Réserver le bilan offert de 30 minCours particuliers de maths Terminale