Terminale spécialité maths

Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites et plans : 10 exercices corrigés Terminale

Dix exercices progressifs corrigés sur géométrie dans l'espace : vecteurs, droites et plans, avec rappels et méthodes.

L'essentiel à retenir

  • Dans un repère de l'espace, un vecteur directeur d'une droite décrit sa direction.
  • Une droite paramétrée a la forme M=A+tu⃗M=A+t\vec u.
  • Un plan d'équation ax+by+cz=dax+by+cz=d a pour vecteur normal (a,b,c)(a,b,c).

Exercice 1 — Vecteur entre deux points

Dans un repère, A(1,2,−1)A(1,2,-1) et B(3,0,4)B(3,0,4). Calculer AB→\overrightarrow{AB} et la distance ABAB.
Corrigé détaillé
Par différence des coordonnées, AB→=(3−1,0−2,4−(−1))=(2,−2,5)\overrightarrow{AB}=(3-1,0-2,4-(-1))=\boxed{(2,-2,5)}. Sa norme vaut 22+(−2)2+52=33\sqrt{2^2+(-2)^2+5^2}=\boxed{\sqrt{33}}.

Exercice 2 — Paramétrer une droite

Écrire une représentation paramétrique de la droite passant par A(1,0,2)A(1,0,2) et de direction u=(2,−1,3)u=(2,-1,3).
Corrigé détaillé
Un point M(x,y,z)M(x,y,z) de la droite satisfait AM→=tu⃗\overrightarrow{AM}=t\vec u. Donc x−1=2tx-1=2t, y=−ty=-t, z−2=3tz-2=3t. Une représentation est x=1+2t, y=−t, z=2+3t\boxed{x=1+2t,\ y=-t,\ z=2+3t} avec t∈Rt\in\mathbb R.

Exercice 3 — Appartenance à une droite

Le point P(5,−2,8)P(5,-2,8) appartient-il à la droite x=1+2tx=1+2t, y=−ty=-t, z=2+3tz=2+3t ?
Corrigé détaillé
La première équation impose t=(5−1)/2=2t=(5-1)/2=2 ; la deuxième donne y=−2y=-2, et la troisième z=2+6=8z=2+6=8. Les trois coordonnées correspondent au même paramètre. Donc PP appartient à la droite.

Exercice 4 — Équation cartésienne d'un plan

Déterminer une équation du plan passant par A(1,1,1)A(1,1,1) et normal à n=(2,−1,3)n=(2,-1,3).
Corrigé détaillé
L'équation est 2(x−1)−(y−1)+3(z−1)=02(x-1)-(y-1)+3(z-1)=0. En développant : 2x−2−y+1+3z−3=02x-2-y+1+3z-3=0. D'où 2x−y+3z=4\boxed{2x-y+3z=4}. Le point AA satisfait 2−1+3=42-1+3=4.

Exercice 5 — Point dans un plan

Vérifier si M(1,2,3)M(1,2,3) et N(0,2,2)N(0,2,2) appartiennent au plan x+2y−z=2x+2y-z=2.
Corrigé détaillé
Pour MM, 1+2×2−3=21+2\times2-3=2 : il appartient au plan. Pour NN, 0+2×2−2=20+2\times2-2=2 : il appartient aussi au plan. Les deux points appartiennent au plan car chacun satisfait l'équation cartésienne.

Exercice 6 — Intersection droite-plan

La droite dd : (x,y,z)=(1,0,0)+t(1,1,1)(x,y,z)=(1,0,0)+t(1,1,1) coupe-t-elle le plan P:x+y+z=4P:x+y+z=4 ?
Corrigé détaillé
Sur la droite, x=1+tx=1+t, y=ty=t, z=tz=t. Substituer dans x+y+z=4x+y+z=4 donne 1+3t=41+3t=4, donc t=1t=1. Le point d'intersection unique est (2,1,1)\boxed{(2,1,1)}.

Exercice 7 — Plans parallèles

Étudier la position des plans P:2x−y+z=1P:2x-y+z=1 et Q:4x−2y+2z=5Q:4x-2y+2z=5.
Corrigé détaillé
Les vecteurs normaux sont (2,−1,1)(2,-1,1) et (4,−2,2)=2(2,−1,1)(4,-2,2)=2(2,-1,1) : les plans sont parallèles. Si les équations étaient celles d'un même plan, le second membre de QQ serait 22 ; il vaut 55. Donc les plans sont parallèles distincts.

Exercice 8 — Droites parallèles

Les droites d1:A(0,0,0)+t(1,2,−1)d_1:A(0,0,0)+t(1,2,-1) et d2:B(1,0,0)+s(2,4,−2)d_2:B(1,0,0)+s(2,4,-2) sont-elles parallèles ?
Corrigé détaillé
Les directions sont (1,2,−1)(1,2,-1) et (2,4,−2)=2(1,2,−1)(2,4,-2)=2(1,2,-1) : elles sont colinéaires. Les droites sont donc parallèles. Le point B(1,0,0)B(1,0,0) ne se trouve pas sur d1d_1 (il faudrait t=1t=1 puis y=2≠0y=2\ne0) : elles sont parallèles distinctes.

Exercice 9 — Milieu dans l'espace

Calculer le milieu de A(−1,4,2)A(-1,4,2) et B(3,−2,6)B(3,-2,6) puis vérifier l'égalité des vecteurs AI→\overrightarrow{AI} et IB→\overrightarrow{IB}.
Corrigé détaillé
Les coordonnées du milieu sont les moyennes : I=((−1+3)/2,(4−2)/2,(2+6)/2)=(1,1,4)I=(( -1+3)/2,(4-2)/2,(2+6)/2)=\boxed{(1,1,4)}. Alors AI→=(2,−3,2)\overrightarrow{AI}=(2,-3,2) et IB→=(2,−3,2)\overrightarrow{IB}=(2,-3,2), ce qui confirme le résultat.

Exercice 10 — Alignement de trois points

Dans l'espace, vérifier si A(1,2,0)A(1,2,0), B(2,4,1)B(2,4,1) et C(3,6,2)C(3,6,2) sont alignés.
Corrigé détaillé
AB→=(1,2,1)\overrightarrow{AB}=(1,2,1) et AC→=(2,4,2)=2AB→\overrightarrow{AC}=(2,4,2)=2\overrightarrow{AB}. Les vecteurs sont colinéaires et ont même origine AA, donc les trois points sont alignés.

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