Terminale spécialité maths

Fonction exponentielle : 10 exercices corrigés en Terminale

Entraînez-vous sur fonction exponentielle avec 10 exercices progressifs et leurs corrections détaillées.

L'essentiel à retenir

  • (ex)′=ex(e^x)'=e^x et ex>0e^x>0 pour tout xx.
  • ea+b=eaebe^{a+b}=e^ae^b ; exe^x est strictement croissante.
  • exe^x domine les puissances lorsque x→+∞x\to+\infty.

Exercice 1 — Équation exponentielle

Résoudre e2x−1=e3e^{2x-1}=e^3 dans R\mathbb R.
Corrigé détaillé
L'exponentielle est injective sur R\mathbb R. Ainsi 2x−1=32x-1=3, donc 2x=42x=4 et x=2\boxed{x=2}. Substituer : les deux membres valent bien e3e^3.

Exercice 2 — Inéquation exponentielle

Résoudre ex+2>e3x−4e^{x+2}>e^{3x-4}.
Corrigé détaillé
La fonction exponentielle est strictement croissante. L'inéquation équivaut à x+2>3x−4x+2>3x-4, soit 6>2x6>2x. L'ensemble solution est x<3\boxed{x<3}. La stricte inégalité exclut 33.

Exercice 3 — Dériver un produit

Étudier les variations de f(x)=xexf(x)=xe^x sur R\mathbb R.
Corrigé détaillé
f′(x)=ex+xex=ex(1+x)f'(x)=e^x+xe^x=e^x(1+x). Comme ex>0e^x>0, le signe est celui de 1+x1+x. Donc ff décroît sur ]−∞,−1]]-\infty,-1], puis croît sur [−1,+∞[[-1,+\infty[. Son minimum est f(−1)=−1/ef(-1)=-1/e.

Exercice 4 — Équation à base exponentielle

Résoudre e2x−5ex+6=0e^{2x}-5e^x+6=0 en posant t=ext=e^x.
Corrigé détaillé
Posons t=ex>0t=e^x>0. L'équation devient t2−5t+6=(t−2)(t−3)=0t^2-5t+6=(t-2)(t-3)=0. Ainsi t=2t=2 ou t=3t=3, d'où x=ln⁡2 ou x=ln⁡3\boxed{x=\ln2\text{ ou }x=\ln3}. Les deux valeurs conviennent.

Exercice 5 — Limite à l'infini

Calculer lim⁡x→+∞x3e−x\lim_{x\to+\infty}x^3e^{-x} et interpréter le résultat.
Corrigé détaillé
On écrit x3e−x=x3/exx^3e^{-x}=x^3/e^x. L'exponentielle croît plus vite que toute puissance positive, donc ex/x3→+∞e^x/x^3\to+\infty, et par passage à l'inverse x3e−x→0\boxed{x^3e^{-x}\to0}. Ne pas conclure directement à partir de +∞×0+\infty\times0.

Exercice 6 — Composition exponentielle

Calculer f′(x)f'(x) pour f(x)=ex2−3xf(x)=e^{x^2-3x}.
Corrigé détaillé
En posant u(x)=x2−3xu(x)=x^2-3x, on a f=euf=e^u et f′(x)=u′(x)eu(x)f'(x)=u'(x)e^{u(x)}. Ainsi f′(x)=(2x−3)ex2−3x\boxed{f'(x)=(2x-3)e^{x^2-3x}}. Le signe de la dérivée est celui de 2x−32x-3.

Exercice 7 — Modèle de croissance

Une population N(t)=200e0,04tN(t)=200e^{0{,}04t} augmente continûment. Calculer N(0)N(0), trouver le temps de doublement et étudier N′(t)N'(t).
Corrigé détaillé
N(0)=200N(0)=200. Le doublement impose 200e0,04t=400200e^{0{,}04t}=400, soit 0,04t=ln⁡20{,}04t=\ln2 et t=25ln⁡2≈17,33\boxed{t=25\ln2\approx17{,}33}. Enfin N′(t)=8e0,04t>0N'(t)=8e^{0{,}04t}>0 : la population croît dans le modèle.

Exercice 8 — Équation avec exponentielle et linéaire

Étudier f(x)=ex−x−1f(x)=e^x-x-1 et démontrer qu'elle est positive ou nulle.
Corrigé détaillé
f′(x)=ex−1f'(x)=e^x-1, négative si x<0x<0, nulle en 00, positive si x>0x>0. La fonction admet un minimum en 00 de valeur f(0)=0f(0)=0. Donc ex≥1+x\boxed{e^x\ge1+x} pour tout réel xx.

Exercice 9 — Dérivée et asymptote

Étudier g(x)=e−x+2g(x)=e^{-x}+2 pour x≥0x\ge0 et déterminer son asymptote en +∞+\infty.
Corrigé détaillé
g′(x)=−e−x<0g'(x)=-e^{-x}<0 : elle est strictement décroissante. Comme e−x→0e^{-x}\to0 quand x→+∞x\to+\infty, g(x)→2g(x)\to2. La droite y=2\boxed{y=2} est une asymptote horizontale. On a g(x)>2g(x)>2 à tout rang fini.

Exercice 10 — Fonction de référence

Résoudre ex+e−x=2e^x+e^{-x}=2 et expliquer l'unicité.
Corrigé détaillé
Multiplier par ex>0e^x>0 donne e2x−2ex+1=(ex−1)2=0e^{2x}-2e^x+1=(e^x-1)^2=0. Ainsi ex=1e^x=1, donc x=0\boxed{x=0}. Il n'existe pas d'autre solution car l'exponentielle est injective.

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