Première spécialité maths

Fonction exponentielle en Première — 10 exercices corrigés

Entraînement progressif : fonction exponentielle en première. Dix énoncés avec méthodes et corrigés pas à pas.

L'essentiel à retenir

$(e^x)'=e^x$ et $e^x>0$ pour tout $x$ .
$e^{a+b}=e^a e^b$ , $e^{-x}=1/e^x$ .
Une évolution multiplicative peut être modélisée par une fonction exponentielle.

Exercice 1 — Résoudre une équation exponentielle

Résoudre

e^{2x+1}=e^5

et vérifier le résultat.

Corrigé détaillé

1. L'exponentielle est strictement croissante, donc injective. 2.

2x+1=5

donne

x=2

. 3. Vérification : les deux membres valent

e^5

; la solution unique est

\boxed2

Exercice 2 — Inéquation avec exponentielle

Résoudre

e^{3x-2}\le e^{x+4}

Corrigé détaillé

1. Comme l'exponentielle est croissante, l'inéquation équivaut à

3x-2\le x+4

. 2.

2x\le6

. 3. L'ensemble solution est

\boxed{]-\infty,3]}

Exercice 3 — Dérivée d'une exponentielle affine

Calculer la dérivée de

f(x)=e^{3x-2}

puis étudier le signe de

f'

Corrigé détaillé

1. Avec

u(x)=3x-2

, on a

u'(x)=3

. 2. La règle de chaîne donne

f'(x)=3e^{3x-2}

. 3. Comme l'exponentielle est toujours positive,

f'(x)>0

;

f

est strictement croissante.

Exercice 4 — Croissance d'une population

Une population suit

P(t)=1000e^{0{,}05t}

, où

t

représente un nombre entier d'années. Calculer

P(0)

P(10)

et la première année entière où la population dépasse 2000.

Corrigé détaillé

1. Valeur initiale.

P(0)=1000e^0=1000

. 2. Après dix années.

P(10)=1000e^{0{,}5}\approx1648{,}72

. 3. Seuil. L'exponentielle étant croissante,

P(t)

augmente. Une calculatrice donne

P(13)=1000e^{0{,}65}\approx1915{,}54<2000

, et

P(14)=1000e^{0{,}7}\approx2013{,}75>2000

. Le premier rang entier est donc $\boxed{t=14}$ .

Exercice 5 — Dériver un produit

Dériver

g(x)=xe^x

et trouver son minimum sur

\mathbb R

Corrigé détaillé

g'(x)=e^x+xe^x=e^x(1+x)

. 2. Le signe est celui de

1+x

. 3. La fonction décroît jusqu'à

x=-1

puis croît ; son minimum vaut

g(-1)=-1/e

Exercice 6 — Équation du second degré en exponentielle

Résoudre l'équation

e^{2x}-(1+e)e^x+e=0

en posant

t=e^x

Corrigé détaillé

1. Substitution. Posons

t=e^x>0

. L'équation devient

t^2-(1+e)t+e=0

. 2. Factorisation.

t^2-(1+e)t+e=(t-1)(t-e)

, d'où

t=1

t=e

. 3. Retour à $x$ .

e^x=1

entraîne

x=0

e^x=e

entraîne

x=1

par injectivité. Les solutions sont $\boxed{x\in\{0,1\}}$ .

Exercice 7 — Tangente de l'exponentielle

Déterminer la tangente en 0 à

f(x)=e^x

et interpréter son coefficient directeur.

Corrigé détaillé

f(0)=1

. 2.

f'(0)=e^0=1

. 3. L'équation

y=f'(0)(x-0)+f(0)

donne

\boxed{y=x+1}

. La pente de la courbe en 0 est 1.

Exercice 8 — Décroissance exponentielle

Un médicament est modélisé par

C(t)=80e^{-0{,}2t}

sur

t\ge0

. Calculer

C(0)

et la limite quand

t\to+\infty

Corrigé détaillé

C(0)=80

. 2. Comme

-0{,}2t\to-\infty

e^{-0{,}2t}\to0

. 3. Donc

C(t)\to0

. La dérivée

C'(t)=-16e^{-0{,}2t}<0

confirme que la concentration décroît.

Exercice 9 — Comparer deux exponentielles

Résoudre

e^{x+2}>e^{2x-1}

et expliquer les bornes.

Corrigé détaillé

1. Par stricte croissance de l'exponentielle, on compare les exposants. 2.

x+2>2x-1

équivaut à

x<3

. 3. La solution est

\boxed{x\in]-\infty,3[}

: l'égalité en 3 est exclue.

Exercice 10 — Propriété algébrique exponentielle

Simplifier

e^{2x}e^{-5x}/e^{-x}

puis résoudre l'équation donnant la valeur

e^4

Corrigé détaillé

1. Les puissances se multiplient en additionnant les exposants :

e^{2x}e^{-5x}/e^{-x}=e^{2x-5x+x}=e^{-2x}

. 2.

e^{-2x}=e^4

équivaut à

-2x=4

. 3. L'unique solution est

\boxed{x=-2}

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