Première spécialité maths

Droites, cercles et géométrie repérée — 10 exercices corrigés de Première spé

Dix exercices progressifs sur droites, cercles et géométrie repérée et leurs corrigés expliqués.

L'essentiel à retenir

  • Une droite non verticale a une équation y=mx+py=mx+p.
  • Une droite d'équation ax+by+c=0ax+by+c=0 a pour vecteur normal (a,b)(a,b).
  • Un cercle de centre (a,b)(a,b) et de rayon RR vérifie (x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2=R^2.

Exercice 1 — Équation réduite d'une droite

Déterminer l'équation de la droite passant par A(1,2)A(1,2) et B(3,6)B(3,6).
Corrigé détaillé
1. La pente est (6−2)/(3−1)=2(6-2)/(3-1)=2. 2. y=2x+py=2x+p ; en utilisant AA, 2=2+p2=2+p, donc p=0p=0. 3. L'équation est y=2x\boxed{y=2x}.

Exercice 2 — Droite par un point et parallèle

Écrire l'équation de la droite parallèle à y=3x−1y=3x-1 passant par (2,4)(2,4).
Corrigé détaillé
1. Des droites non verticales parallèles ont la même pente 3. 2. Chercher y=3x+py=3x+p ; au point (2,4)(2,4), 4=6+p4=6+p, donc p=−2p=-2. 3. La droite cherchée est y=3x−2\boxed{y=3x-2}.

Exercice 3 — Droite perpendiculaire

Une droite a pour pente 2. Quelle est la pente d'une droite perpendiculaire, et quelle est son équation si elle passe par (0,3)(0,3) ?
Corrigé détaillé
1. Deux droites de pentes non nulles perpendiculaires vérifient m1m2=−1m_1m_2=-1. 2. 2m2=−12m_2=-1, d'où m2=−1/2m_2=-1/2. 3. Avec ordonnée à l'origine 3, l'équation est y=−x/2+3\boxed{y=-x/2+3}.

Exercice 4 — Appartenance à une droite

Le point P(2,1)P(2,1) appartient-il à la droite 3x−2y−4=03x-2y-4=0 ? Tester aussi Q(0,−2)Q(0,-2).
Corrigé détaillé
1. Pour PP, 3⋅2−2⋅1−4=6−2−4=03\cdot2-2\cdot1-4=6-2-4=0 : PP appartient à la droite. 2. Pour QQ, 0−2(−2)−4=00-2(-2)-4=0 : QQ appartient aussi à la droite. 3. Les deux points sont donc sur cette droite.

Exercice 5 — Cercle de centre et rayon donnés

Donner l'équation du cercle de centre C(2,−3)C(2,-3) et de rayon 5, puis vérifier si A(5,1)A(5,1) est sur le cercle.
Corrigé détaillé
1. L'équation est (x−2)2+(y+3)2=25\boxed{(x-2)^2+(y+3)^2=25}. 2. Pour A(5,1)A(5,1), le membre de gauche vaut (5−2)2+(1+3)2=9+16=25(5-2)^2+(1+3)^2=9+16=25. 3. Le point AA appartient au cercle.

Exercice 6 — Retrouver le centre d'un cercle

Pour x2+y2−4x+6y−12=0x^2+y^2-4x+6y-12=0, identifier le centre et le rayon.
Corrigé détaillé
1. x2−4x=(x−2)2−4x^2-4x=(x-2)^2-4 et y2+6y=(y+3)2−9y^2+6y=(y+3)^2-9. 2. L'équation devient (x−2)2+(y+3)2=25(x-2)^2+(y+3)^2=25. 3. Centre (2,−3)\boxed{(2,-3)} et rayon 5\boxed5.

Exercice 7 — Intersection de deux droites

Résoudre le système y=2x+1y=2x+1 et y=−x+7y=-x+7, puis donner les coordonnées de l'intersection.
Corrigé détaillé
1. Au croisement, 2x+1=−x+72x+1=-x+7. 2. 3x=63x=6, donc x=2x=2. 3. y=2⋅2+1=5y=2\cdot2+1=5. Le point d'intersection est (2,5)\boxed{(2,5)}.

Exercice 8 — Équation cartésienne d'une droite

Trouver une équation cartésienne de la droite passant par A(1,2)A(1,2) avec vecteur normal n=(3,−1)n=(3,-1).
Corrigé détaillé
1. Pour tout point M(x,y)M(x,y) sur la droite, n⋅AM→=0n\cdot\overrightarrow{AM}=0. 2. 3(x−1)−(y−2)=03(x-1)-(y-2)=0. 3. En développant, 3x−y−1=0\boxed{3x-y-1=0}. Le point AA satisfait 3−2−1=03-2-1=0.

Exercice 9 — Tangente à un cercle

Le cercle est x2+y2=25x^2+y^2=25. Trouver une équation de sa tangente au point A(3,4)A(3,4).
Corrigé détaillé
1. Le rayon OA→=(3,4)\overrightarrow{OA}=(3,4) est normal à la tangente. 2. Celle-ci a pour équation 3(x−3)+4(y−4)=03(x-3)+4(y-4)=0. 3. Après simplification, 3x+4y=25\boxed{3x+4y=25} ; elle passe par AA et est orthogonale au rayon.

Exercice 10 — Intersection d'un cercle et d'une droite

Trouver les points d'intersection du cercle x2+y2=5x^2+y^2=5 avec la droite y=1y=1.
Corrigé détaillé
1. Substituer y=1y=1 dans le cercle : x2+1=5x^2+1=5. 2. On obtient x2=4x^2=4, donc x=−2x=-2 ou x=2x=2. 3. Les intersections sont (−2,1),(2,1)\boxed{(-2,1),(2,1)}.

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