Terminale spécialité maths

Dénombrement et combinatoire — exercices corrigés Terminale

Dix exercices pour réviser dénombrement et combinatoire et leurs corrigés.

L'essentiel à retenir

  • (nk)\binom nk compte les choix de kk éléments sans ordre parmi nn.
  • n!n! compte les permutations de nn objets distincts.
  • Appliquer la règle du produit pour des choix successifs.

Exercice 1 — Codes avec répétition

Combien existe-t-il de codes à 4 chiffres (zéros initiaux acceptés) ?
Corrigé détaillé
Chaque position offre 10 possibilités indépendantes ; par règle du produit, le nombre vaut 104=1000010^4=\boxed{10000}.

Exercice 2 — Codes sans répétition

Combien de codes à 4 chiffres distincts existe-t-il ?
Corrigé détaillé
Les nombres de choix successifs sont 10, 9, 8 puis 7. Ainsi il existe 10×9×8×7=504010\times9\times8\times7=\boxed{5040} codes distincts.

Exercice 3 — Groupes de trois

Combien de groupes de 3 élèves peut-on former parmi 12 élèves ?
Corrigé détaillé
L'ordre ne compte pas. Le nombre de groupes est (123)=12×11×10/(3×2×1)=220\binom{12}{3}=12\times11\times10/(3\times2\times1)=\boxed{220}.

Exercice 4 — Tirage successif

On tire 3 boules parmi 7 boules distinctes, sans remise, en tenant compte de l'ordre. Combien de tirages ?
Corrigé détaillé
Il y a 7 choix au premier tirage, 6 au deuxième et 5 au troisième. Donc 7×6×5=2107\times6\times5=\boxed{210} tirages possibles.

Exercice 5 — Permutations de livres

De combien de manières placer six livres distincts sur une étagère ?
Corrigé détaillé
La première place a 6 possibilités, puis 5, 4, 3, 2 et 1. Le nombre total de permutations est 6!=7206!=\boxed{720}.

Exercice 6 — Composition d'équipe

Parmi 8 filles et 7 garçons, combien de groupes de 4 contiennent exactement 2 filles ?
Corrigé détaillé
Il faut choisir deux filles et deux garçons : (82)(72)=28×21=588\binom82\binom72=28\times21=\boxed{588}. L'ordre des membres ne compte pas.

Exercice 7 — Complément d'une combinaison

Vérifier que (103)=(107)\binom{10}{3}=\binom{10}{7} par un calcul et une interprétation.
Corrigé détaillé
Les deux valeurs sont 10!/(3!7!)=12010!/(3!7!)=\boxed{120}. Choisir 3 objets revient à désigner les 7 objets non choisis.

Exercice 8 — Triangle de Pascal

Calculer (63)\binom63 à l'aide de la relation de Pascal.
Corrigé détaillé
(63)=(52)+(53)=10+10=20\binom63=\binom52+\binom53=10+10=\boxed{20}. La relation sépare les groupes contenant un élément fixé de ceux ne le contenant pas.

Exercice 9 — Chemins de grille

Combien de chemins de (0,0)(0,0) à (3,2)(3,2) avec trois pas droite et deux pas haut existe-t-il ?
Corrigé détaillé
Il suffit de choisir les deux positions des pas vers le haut parmi cinq mouvements : (52)=10\binom52=\boxed{10} chemins.

Exercice 10 — Ensembles non vides

Combien de sous-ensembles non vides possède un ensemble à 5 éléments ?
Corrigé détaillé
Chaque élément est inclus ou exclu, ce qui donne 25=322^5=32 sous-ensembles. En retirant l'ensemble vide, il reste 31\boxed{31} sous-ensembles non vides.

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