Terminale spécialité maths

Concentration et loi des grands nombres : 10 exercices corrigés

Calculer les espérances et variances des moyennes pour comprendre et quantifier les phénomènes de concentration.

L'essentiel à retenir

  • L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est P(∣X−E(X)∣≥a)≤V(X)/a2P(|X-E(X)|\ge a)\le V(X)/a^2.
  • Pour nn variables indépendantes de variance σ2\sigma^2, la moyenne a pour variance σ2/n\sigma^2/n.
  • Quand nn grandit, la moyenne des observations indépendantes se concentre autour de leur espérance.

Exercice 1 — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Une variable XX vérifie E(X)=10E(X)=10 et V(X)=4V(X)=4. Majorer P(∣X−10∣≥5)P(|X-10|\ge5).
Corrigé détaillé
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne P(∣X−E(X)∣≥a)≤V(X)/a2P(|X-E(X)|\ge a)\le V(X)/a^2. Avec a=5a=5, on obtient P(∣X−10∣≥5)≤4/25=0,16P(|X-10|\ge5)\le4/25=\boxed{0{,}16}.

Exercice 2 — Variance d'une moyenne

X1,…,X100X_1,\ldots,X_{100} sont indépendantes, de même espérance 33 et variance 22. Calculer la variance de M=(X1+⋯+X100)/100M=(X_1+\cdots+X_{100})/100.
Corrigé détaillé
La variance d'une somme indépendante est la somme des variances : V(∑iXi)=100×2=200V(\sum_iX_i)=100\times2=200. Puis V(M)=V(∑iXi)/1002=200/10000=0,02V(M)=V(\sum_iX_i)/100^2=200/10000=\boxed{0{,}02}.

Exercice 3 — Concentration d'une moyenne

Avec les variables précédentes, majorer P(∣M−3∣≥0,5)P(|M-3|\ge0{,}5) par Tchebychev.
Corrigé détaillé
Par linéarité, E(M)=3E(M)=3 et par indépendance, V(M)=0,02V(M)=0{,}02. L'inégalité donne P(∣M−3∣≥0,5)≤0,02/(0,5)2=0,08P(|M-3|\ge0{,}5)\le0{,}02/(0{,}5)^2=\boxed{0{,}08}.

Exercice 4 — Nombre d'observations

Des variables indépendantes de variance 11 ont toutes la même espérance μ\mu. Trouver une valeur de nn assurant P(∣Mn−μ∣≥0,2)≤0,05P(|M_n-\mu|\ge0{,}2)\le0{,}05 via Tchebychev.
Corrigé détaillé
La moyenne a une variance égale à 1/n1/n. Tchebychev donne P(∣Mn−μ∣≥0,2)≤(1/n)/0,04=25/nP(|M_n-\mu|\ge0{,}2)\le(1/n)/0{,}04=25/n. Il suffit que 25/n≤0,0525/n\le0{,}05, soit n≥500\boxed{n\ge500}.

Exercice 5 — Fréquence de succès

On répète indépendamment 400 épreuves de Bernoulli de paramètre p=0,4p=0{,}4. Calculer l'espérance et la variance de la fréquence F=X/400F=X/400.
Corrigé détaillé
Avec X∼B(400,0,4)X\sim\mathcal B(400,0{,}4), E(X)=160E(X)=160 et V(X)=400×0,4×0,6=96V(X)=400\times0{,}4\times0{,}6=96. Donc E(F)=160/400=0,4E(F)=160/400=\boxed{0{,}4} et V(F)=96/4002=0,0006V(F)=96/400^2=\boxed{0{,}0006}.

Exercice 6 — Concentration de fréquence

Dans l'expérience précédente, majorer la probabilité P(∣F−0,4∣≥0,1)P(|F-0{,}4|\ge0{,}1).
Corrigé détaillé
On a E(F)=0,4E(F)=0{,}4 et V(F)=0,0006V(F)=0{,}0006. Par Tchebychev, P(∣F−0,4∣≥0,1)≤0,0006/(0,1)2=0,06P(|F-0{,}4|\ge0{,}1)\le0{,}0006/(0{,}1)^2=\boxed{0{,}06}. La borne n'est pas nécessairement la probabilité exacte.

Exercice 7 — Sommes et dispersion

Si X,YX,Y sont indépendantes avec V(X)=3V(X)=3 et V(Y)=7V(Y)=7, calculer V(X+Y)V(X+Y) puis V((X+Y)/2)V((X+Y)/2).
Corrigé détaillé
L'indépendance implique V(X+Y)=3+7=10V(X+Y)=3+7=\boxed{10}. Puis V((X+Y)/2)=(1/2)2×10=2,5V((X+Y)/2)=(1/2)^2\times10=\boxed{2{,}5}. Pour obtenir la variance d'une moyenne, il faut multiplier par le carré du coefficient.

Exercice 8 — Effet de la taille de l'échantillon

Comparer les variances de deux moyennes de n=25n=25 et n=100n=100 observations indépendantes ayant toutes variance 99.
Corrigé détaillé
La variance d'une moyenne de nn observations indépendantes de même variance 9 vaut 9/n9/n. Pour 25 observations : 9/25=0,369/25=0{,}36. Pour 100 observations : 9/100=0,099/100=0{,}09. Quadrupler la taille divise la variance par quatre.

Exercice 9 — Borne sur les écarts

Une variable XX possède E(X)=0E(X)=0 et V(X)=16V(X)=16. Pour quel a>0a>0 Tchebychev garantit-elle P(∣X∣≥a)≤0,01P(|X|\ge a)\le0{,}01 ?
Corrigé détaillé
La borne est P(∣X∣≥a)≤16/a2P(|X|\ge a)\le16/a^2. Pour la rendre au plus 0,01, on exige 16/a2≤0,0116/a^2\le0{,}01, soit a2≥1600a^2\ge1600 et a≥40\boxed{a\ge40}.

Exercice 10 — Interpréter la loi des grands nombres

Soient XiX_i indépendantes, de même espérance μ\mu et variance finie σ2\sigma^2. Expliquer pourquoi la moyenne MnM_n se concentre près de μ\mu.
Corrigé détaillé
Par linéarité, E(Mn)=μE(M_n)=\mu. Par indépendance, V(Mn)=σ2/nV(M_n)=\sigma^2/n. Pour tout ε>0\varepsilon>0, Tchebychev donne P(∣Mn−μ∣≥ε)≤σ2/(nε2)→0P(|M_n-\mu|\ge\varepsilon)\le\sigma^2/(n\varepsilon^2)\to0. La moyenne converge donc en probabilité vers μ\mu : c'est une forme de loi faible des grands nombres.

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