On distingue ici les propriétés des fonctions entre deux ensembles (injectivité, surjectivité, bijectivité) et celles des relations binaires. Comprendre les définitions permet de construire des preuves courtes et rigoureuses.
L'essentiel à retenir
f:E→F est injective si f(x)=f(y)⇒x=y pour tous x,y∈E.
f:E→F est surjective si tout z∈F possède un antécédent x∈E ; bijective signifie injective et surjective.
Une relation d’équivalence est réflexive, symétrique et transitive ; elle définit des classes d’équivalence.
Une relation d’ordre est réflexive, antisymétrique et transitive ; l’ordre est total si tous les éléments sont comparables.
Le choix de l’ensemble de départ et de l’ensemble d’arrivée d’une fonction peut modifier sa surjectivité.
Exercice 1 — Injectivité, surjectivité et inverse
Soit f:R→R définie par f(x)=2x+3.
Montrer que f est injective.
Montrer que f est surjective.
Déterminer f−1.
Corrigé détaillé
1. Si f(x)=f(y), alors 2x+3=2y+3, d’où 2x=2y, donc x=y : f est injective.2. Pour tout z∈R, choisir x=(z−3)/2∈R. Alors f(x)=z : f est surjective.3. Elle est donc bijective, et son inverse est f−1(z)=2z−3.Remarque : g(x)=x2 de R dans R n’est ni injective (car g(−1)=g(1)) ni surjective (les nombres négatifs ne sont pas atteints).
Exercice 2 — Congruence modulo 3
Sur Z, on définit a∼b si 3 divise a−b.
Montrer que ∼ est une relation d’équivalence.
Décrire les classes d’équivalence.
Corrigé détaillé
1. Réflexivité.a−a=0 est multiple de 3, donc a∼a.Symétrie. Si a−b=3k, alors b−a=−3k : b∼a.Transitivité. Si a−b=3k et b−c=3ℓ, alors a−c=3(k+ℓ) : a∼c.2. Les classes sont les entiers de reste 0, 1 ou 2 modulo 3 : [0],[1],[2]. Par exemple [1]={…,−5,−2,1,4,7,…}.
Exercice 3 — La divisibilité est un ordre partiel
Sur N∗={1,2,3,…}, on définit a⪯b si a divise b.
Vérifier que ⪯ est une relation d’ordre.
Cet ordre est-il total ?
Donner les éléments minimaux et maximaux de {1,2,3,6} pour cet ordre.
Corrigé détaillé
1. Réflexivité.a∣a ; antisymétrie : si a∣b et b∣a avec a,b>0, alors a=b ; transitivité : si a∣b et b∣c, alors a∣c. C’est donc un ordre.2. Il n’est pas total, car 2∤3 et 3∤2. Ces deux éléments sont incomparables.3. Dans l’ensemble {1,2,3,6}, 1 est l’unique élément minimal (et le plus petit) puisqu’il divise tous les autres ; 6 est l’unique élément maximal (et le plus grand) puisque tous les autres le divisent.
Exercice 4 — Injectivité d'une fonction affine
Soit f:R→R, f(x)=3x−2. Démontrer l'injectivité, la surjectivité et calculer f−1(y).
Corrigé détaillé
1. Si f(x)=f(x′), alors 3x−2=3x′−2, donc x=x′ : injectivité. 2. Pour y∈R, choisir x=(y+2)/3 ; alors f(x)=y : surjectivité. 3.f est bijective et f−1(y)=(y+2)/3. L'inverse est défini sur tout R.
Exercice 5 — Application carré et ensembles de départ
Pour f(x)=x2, comparer l'injectivité et la surjectivité de f:R→R puis de g:[0,+∞[→[0,+∞[.
Corrigé détaillé
1.f(1)=f(−1) montre que f n'est pas injective. Aucun réel n'a un carré négatif : f n'est pas surjective vers R. 2. Sur les réels non négatifs, le carré est strictement croissant : g est injective. 3. Chaque y≥0 admet l'antécédent y≥0 : g est surjective, donc bijective, d'inverse g−1(y)=y.
Exercice 6 — Composition d'applications
Soit f(x)=x+1 et g(x)=2x. Calculer f∘g, g∘f, résoudre (f∘g)(x)=7 et commenter la commutativité.
Corrigé détaillé
1.(f∘g)(x)=f(2x)=2x+1. 2.(g∘f)(x)=g(x+1)=2x+2. 3.2x+1=7 donne x=3. Les deux compositions diffèrent d'une constante : la composition n'est pas commutative en général.
Exercice 7 — Relation modulo 4
Sur Z, poser a∼b si 4∣(a−b). Vérifier réflexivité, symétrie, transitivité et décrire les classes.
Corrigé détaillé
1.4∣0, donc a∼a. 2. Si a−b=4k, alors b−a=−4k : symétrie. 3. Si a−b=4k et b−c=4ℓ, alors a−c=4(k+ℓ) : transitivité. C'est une relation d'équivalence ; les quatre classes sont [0],[1],[2],[3] selon le reste modulo 4.
Exercice 8 — Ordre partiel par inclusion
Sur P({1,2}), on définit A⪯B⟺A⊆B. Démontrer qu'il s'agit d'un ordre et dire s'il est total.
Corrigé détaillé
1. Chaque ensemble est inclus dans lui-même : réflexivité. 2. Si A⊆B et B⊆A, alors A=B : antisymétrie. 3. L'inclusion est transitive, donc il s'agit d'un ordre. Il n'est pas total, car {1} et {2} ne sont pas comparables.
Exercice 9 — Image et image réciproque
Pour f:R→R, f(x)=x2, calculer f([−2,1]) et f−1([1,4]), puis préciser la différence des notions.
Corrigé détaillé
1. Sur [−2,1], le minimum de x2 vaut 0 et le maximum 4 : f([−2,1])=[0,4]. 2.1≤x2≤4 équivaut à 1≤∣x∣≤2, d'où f−1([1,4])=[−2,−1]∪[1,2]. 3. L'image contient les valeurs atteintes ; l'image réciproque contient les antécédents, sans supposer f bijective.
Exercice 10 — Ordre et minimum
Considérer A={2,3,6,12} ordonné par la divisibilité. Identifier les éléments minimaux, maximaux, le plus petit et le plus grand s'ils existent.
Corrigé détaillé
1. Les éléments 2 et 3 sont minimaux : aucun autre élément de A ne les divise strictement. 2.12 est maximal, car aucun élément distinct de A n'est un multiple de 12 ; il est même le plus grand, tous les éléments de A le divisant. 3. Il n'existe pas de plus petit élément : ni 2 ni 3 ne divise l'autre.