Université L1 / enseignement supérieur

Applications linéaires et matrices : exercices corrigés L1

Ce chapitre associe le calcul matriciel à la structure des applications linéaires : déterminer un noyau, une image, un rang ou écrire la matrice d’une application dans une nouvelle base.

L'essentiel à retenir

  • Une application f:E→Ff:E\to F est linéaire si f(λu+μv)=λf(u)+μf(v)f(\lambda u+\mu v)=\lambda f(u)+\mu f(v).
  • Le noyau ker⁡f\ker f est l’ensemble des vecteurs envoyés sur 00 ; l’image Im⁡f\operatorname{Im}f est l’ensemble des valeurs atteintes.
  • Théorème du rang (dimension finie) : dim⁡E=dim⁡ker⁡f+rg⁡f\dim E=\dim\ker f+\operatorname{rg}f.
  • Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
  • Si PP a pour colonnes les vecteurs d’une nouvelle base, la matrice de ff dans cette base est P−1APP^{-1}AP.

Exercice 1 — Noyau, image et rang

Soit f:R3→R2f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2 définie par f(x,y,z)=(x+y,y+z)f(x,y,z)=(x+y,y+z).
  1. Donner la matrice de ff dans les bases canoniques.
  2. Déterminer ker⁡f\ker f.
  3. Déterminer le rang de ff et dire si elle est surjective.
Corrigé détaillé
1. Matrice. Les images de la base canonique sont (1,0)(1,0), (1,1)(1,1) et (0,1)(0,1). Ainsi A=(110011).\boxed{A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}}. 2. Noyau. x+y=0x+y=0 et y+z=0y+z=0, donc (x,y,z)=(−t,t,−t)(x,y,z)=(-t,t,-t) avec t∈Rt\in\mathbb R. Ainsi ker⁡f=Vect⁡((−1,1,−1))\ker f=\operatorname{Vect}((-1,1,-1)) et dim⁡ker⁡f=1\dim\ker f=1. 3. Rang. Par le théorème du rang, rg⁡f=3−1=2\operatorname{rg}f=3-1=2. Comme dim⁡R2=2\dim\mathbb R^2=2, ff est surjective.

Exercice 2 — Déterminant et matrice inverse

Soit A=(1234)A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}.
  1. Calculer det⁡A\det A.
  2. Déterminer A−1A^{-1}.
  3. Résoudre A(xy)=(511)A\binom{x}{y}=\binom5{11}.
Corrigé détaillé
1. det⁡A=1×4−2×3=−2≠0\det A=1\times4-2\times3=\boxed{-2\ne0}. Donc AA est inversible. 2. Pour une matrice (abcd)\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, l’inverse est 1ad−bc(d−b−ca)\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. Donc A−1=(−2132−12).\boxed{A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\\tfrac32&-\tfrac12\end{pmatrix}}. 3. (xy)=A−1(511)=(−10+1115/2−11/2)=(12)\binom{x}{y}=A^{-1}\binom5{11}=\binom{-10+11}{15/2-11/2}=\boxed{\binom12}. On vérifie : 1+2×2=51+2\times2=5 et 3+4×2=113+4\times2=11.

Exercice 3 — Changement de base

Soit f:R2→R2f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2, f(x,y)=(2x+y,x+2y)f(x,y)=(2x+y,x+2y), et B=(v1,v2)\mathcal B=(v_1,v_2) avec v1=(1,1)v_1=(1,1) et v2=(1,−1)v_2=(1,-1).
  1. Vérifier que B\mathcal B est une base.
  2. Calculer f(v1)f(v_1) et f(v2)f(v_2).
  3. Donner la matrice de ff dans la base B\mathcal B.
Corrigé détaillé
1. La matrice de passage P=(111−1)P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} a pour déterminant −2≠0-2\ne0. Donc (v1,v2)(v_1,v_2) est une base. 2. f(1,1)=(3,3)=3v1f(1,1)=(3,3)=3v_1. De même f(1,−1)=(1,−1)=v2f(1,-1)=(1,-1)=v_2. 3. Les colonnes sont les coordonnées de f(v1)f(v_1) et f(v2)f(v_2) dans B\mathcal B. La matrice est Mat⁡B(f)=(3001)\boxed{\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(f)=\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}}. Elle est aussi égale à P−1APP^{-1}AP avec A=(2112)A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}.

Exercice 4 — Produit de deux matrices

Calculer ABAB et BABA pour A=(1201)A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} et B=(1031)B=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}. Commenter.
Corrigé détaillé
1. AB=(1+6231)=(7231)AB=\begin{pmatrix}1+6&2\\3&1\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}7&2\\3&1\end{pmatrix}}. 2. BA=(1237)BA=\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}. 3. Les produits sont différents : le produit matriciel n'est pas commutatif en général. L'ordre des applications linéaires est essentiel.

Exercice 5 — Inverse d'une matrice 2x2

Pour A=(2111)A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}, calculer le déterminant et A−1A^{-1}, puis résoudre AX=(5,3)TAX=(5,3)^T.
Corrigé détaillé
1. det⁡A=2⋅1−1⋅1=1≠0\det A=2\cdot1-1\cdot1=1\ne0. 2. La formule d'inversion donne A−1=(1−1−12)A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}. 3. X=A−1(5,3)T=(5−3,−5+6)T=(2,1)TX=A^{-1}(5,3)^T=(5-3,-5+6)^T=\boxed{(2,1)^T}. Vérification : A(2,1)T=(5,3)TA(2,1)^T=(5,3)^T.

Exercice 6 — Rang d'une matrice

Déterminer le rang de A=(123246011)A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\0&1&1\end{pmatrix} puis une base de son image.
Corrigé détaillé
1. La deuxième ligne est le double de la première ; les première et troisième lignes sont indépendantes. Le rang est donc 22. 2. Les colonnes sont c1=(1,2,0)c_1=(1,2,0), c2=(2,4,1)c_2=(2,4,1) et c3=(3,6,1)=c1+c2c_3=(3,6,1)=c_1+c_2. 3. c1,c2c_1,c_2 sont indépendantes (troisième coordonnée), elles forment une base de l'image.

Exercice 7 — Noyau d'une application matricielle

Soit A=(1111−10)A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&0\end{pmatrix}. Déterminer le noyau de A:R3→R2A:\mathbb R^3\to\mathbb R^2 et son rang.
Corrigé détaillé
1. AX=0AX=0 équivaut à x+y+z=0x+y+z=0 et x−y=0x-y=0. 2. Donc x=y=tx=y=t et z=−2tz=-2t, soit ker⁡A=Vect⁡((1,1,−2))\ker A=\operatorname{Vect}((1,1,-2)). 3. Le noyau a dimension 11 ; par rang-noyau, rg⁡A=3−1=2\operatorname{rg}A=3-1=\boxed2. L'application est surjective dans R2\mathbb R^2.

Exercice 8 — Matrice d'une application linéaire

Soit f(x,y)=(x+2y,3x−y)f(x,y)=(x+2y,3x-y). Écrire sa matrice canonique, calculer son déterminant et décider si ff est bijective.
Corrigé détaillé
1. f(1,0)=(1,3)f(1,0)=(1,3) et f(0,1)=(2,−1)f(0,1)=(2,-1) ; la matrice est A=(123−1)A=\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}. 2. det⁡A=−1−6=−7\det A=-1-6=\boxed{-7}. 3. Le déterminant non nul prouve l'inversibilité de AA. Ainsi ff est un automorphisme de R2\mathbb R^2, injectif et surjectif.

Exercice 9 — Puissance d'une matrice diagonale

Pour D=(2003)D=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}, calculer D2D^2, DnD^n, puis (Dn)−1(D^n)^{-1} lorsque n≥1n\ge1.
Corrigé détaillé
1. Le carré est D2=(4009)D^2=\begin{pmatrix}4&0\\0&9\end{pmatrix}. 2. Le produit diagonal multiplie les coefficients correspondants ; par récurrence, Dn=diag⁡(2n,3n)D^n=\operatorname{diag}(2^n,3^n). 3. Ces nombres sont non nuls, donc (Dn)−1=diag⁡(2−n,3−n)(D^n)^{-1}=\operatorname{diag}(2^{-n},3^{-n}). Le produit de ces matrices est l'identité.

Exercice 10 — Changement de base et diagonalisation

Soit A=(2112)A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}. Vérifier que v1=(1,1)v_1=(1,1) et v2=(1,−1)v_2=(1,-1) sont des vecteurs propres, puis donner P−1APP^{-1}AP.
Corrigé détaillé
1. Av1=(3,3)=3v1Av_1=(3,3)=3v_1 et Av2=(1,−1)=v2Av_2=(1,-1)=v_2. 2. Le déterminant de P=(111−1)P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} vaut −2≠0-2\ne0, donc (v1,v2)(v_1,v_2) est une base. 3. Dans cette base, l'application possède la matrice P−1AP=diag⁡(3,1)\boxed{P^{-1}AP=\operatorname{diag}(3,1)}.

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