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Algorithmique, logique et automatismes — 10 exercices corrigés Première spé

Travaillez algorithmique, logique et automatismes à travers dix exercices de difficulté progressive, avec corrigés.

L'essentiel à retenir

  • Une boucle Python for répète un nombre connu d'itérations ; while teste une condition.
  • Une implication P⇒QP\Rightarrow Q se démontre par raisonnement direct ou par contraposée.
  • Pour une preuve par récurrence : initialisation, hérédité puis conclusion.

Exercice 1 — Parcourir une liste Python et calculer une somme

On considère la liste Python notes = [10, 12, 16, 14] et l'algorithme s = 0, puis for valeur in notes: s = s + valeur.\n\n1. Donner le contenu de s après chaque itération.\n2. Déterminer la somme finale et la moyenne des notes.\n3. Expliquer ce que réalise le programme pour une liste quelconque de nombres.
Corrigé détaillé
1. Parcours de liste. La boucle lit successivement les valeurs 10, 12, 16 et 14 ; l'accumulateur prend donc les valeurs 10, puis 22, puis 38, puis 52. 2. À la fin, la somme vaut s=52\boxed{s=52} et la moyenne est 52/4=1352/4=\boxed{13}. 3. De façon générale, l'algorithme additionne tous les éléments de la liste. La moyenne s'obtient ensuite en divisant la somme par le nombre d'éléments (len(notes)) quand la liste n'est pas vide.

Exercice 2 — Algorithme d'une suite

Pour u0=2u_0=2, un+1=3un−1u_{n+1}=3u_n-1, décrire les trois premières itérations d'une boucle calculant u3u_3.
Corrigé détaillé
1. Initialiser u=2. 2. À chaque itération remplacer u par 3*u-1 : on obtient 5, puis 14, puis 41. 3. Après trois itérations, u3=41\boxed{u_3=41}. En Python, for _ in range(3): u=3*u-1 représente l'opération.

Exercice 3 — Seuil et boucle while

Une quantité double à chaque étape : u0=1u_0=1, un+1=2unu_{n+1}=2u_n. Combien d'itérations sont nécessaires pour obtenir un≥100u_n\ge100 ?
Corrigé détaillé
1. La suite est un=2nu_n=2^n. 2. 26=64<1002^6=64<100 tandis que 27=128≥1002^7=128\ge100. 3. Le programme while u<100: u=2*u; n=n+1 effectue exactement 7\boxed7 itérations. Il faut initialiser u=1,n=0.

Exercice 4 — Négation d'une proposition

Donner la négation de « Pour tout réel xx, x2≥0x^2\ge0 », puis décider si l'énoncé est vrai.
Corrigé détaillé
1. La négation de ∀x∈R, x2≥0\forall x\in\mathbb R,\ x^2\ge0 est ∃x∈R, x2<0\exists x\in\mathbb R,\ x^2<0. 2. Or un carré réel ne peut être négatif. 3. La proposition initiale est vraie et sa négation est fausse.

Exercice 5 — Contraposée et parité

Démontrer que si n2n^2 est impair alors nn est impair.
Corrigé détaillé
1. La contraposée est : si nn est pair, alors n2n^2 est pair. 2. Si n=2kn=2k, n2=4k2=2(2k2)n^2=4k^2=2(2k^2), donc est pair. 3. La contraposée vraie prouve n2n^2 impair ⇒n\Rightarrow n impair.

Exercice 6 — Récurrence d'une somme

Démontrer 1+2+⋯+n=n(n+1)/21+2+\cdots+n=n(n+1)/2 par récurrence pour tout entier n≥1n\ge1.
Corrigé détaillé
1. Au rang 1, les deux membres valent 1. 2. Supposons la formule vraie au rang nn. En ajoutant n+1n+1, Sn+1=n(n+1)/2+(n+1)=(n+1)(n+2)/2S_{n+1}=n(n+1)/2+(n+1)=(n+1)(n+2)/2. 3. La formule est héréditaire : elle est vraie pour tout n≥1n\ge1.

Exercice 7 — Vrai ou faux : implication

La proposition « si x>2x>2, alors x2>4x^2>4 » est-elle vraie pour x∈Rx\in\mathbb R ? Sa réciproque est-elle vraie ?
Corrigé détaillé
1. Pour x>2x>2, on a x2>4x^2>4 en multipliant deux quantités positives ; l'implication est vraie. 2. La réciproque x2>4⇒x>2x^2>4\Rightarrow x>2 est fausse. 3. Le contre-exemple x=−3x=-3 vérifie x2=9>4x^2=9>4 mais x≯2x\not>2.

Exercice 8 — Pourcentage et coefficient multiplicateur

Un prix augmente de 15 % puis diminue de 10 %. Déterminer le coefficient global et le taux de variation final.
Corrigé détaillé
1. Les coefficients multiplicateurs sont 1,15 puis 0,90. 2. Leur produit est 1,15×0,90=1,0351{,}15\times0{,}90=1{,}035. 3. Le prix final est supérieur de 0,0350{,}035, soit 3,5 % du prix initial.

Exercice 9 — Moyenne pondérée

Une note finale compte 40 % de contrôle continu à 12/20 et 60 % d'examen à 15/20. Calculer la moyenne.
Corrigé détaillé
1. Convertir les poids en décimaux : 0,4 et 0,6, de somme 1. 2. La note finale vaut 0,4×12+0,6×15=4,8+90{,}4\times12+0{,}6\times15=4{,}8+9. 3. La moyenne pondérée vaut 13,8/20\boxed{13{,}8/20}.

Exercice 10 — Démontrer ou réfuter

La proposition « pour tout réel xx, x2≥xx^2\ge x » est-elle vraie ? Justifier en utilisant un contre-exemple et résoudre l'inéquation x2≥xx^2\ge x.
Corrigé détaillé
1. x=1/2x=1/2 donne x2=1/4<1/2x^2=1/4<1/2 : l'affirmation universelle est fausse. 2. x2≥xx^2\ge x équivaut à x(x−1)≥0x(x-1)\ge0. 3. Le produit est positif à l'extérieur des racines, donc exactement pour x≤0 ou x≥1\boxed{x\le0\text{ ou }x\ge1}.

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