Seconde

Vecteurs et colinéarité — 10 exercices corrigés de Seconde

Réviser vecteurs et colinéarité avec 10 exercices de difficulté progressive. Chaque exercice comprend trois questions séparées et un corrigé détaillé en trois étapes. Nouveau programme français de Seconde générale et technologique applicable dès 2026-2027.

L'essentiel à retenir

  • Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul.
  • Le déterminant de (a,b)(a,b) et (c,d)(c,d) vaut ad−bcad-bc.
  • Des vecteurs colinéaires ont la même direction.
  • AB→=(xB−xA;yB−yA)\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A).
  • Coordonnées du milieu : moyennes des coordonnées.

Exercice 1 — Déterminant et colinéarité — cas 1

1. Soient u=(2;3)u=(2;3) et v=(6;9)v=(6;9). Calculer leur déterminant. 2. Montrer que ces vecteurs sont colinéaires. 3. Donner un vecteur non colinéaire à uu et le prouver.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Méthode. Le déterminant vaut 2×9−3×6=02\times9-3\times6=\boxed0. Étape 2 — Calcul. En effet, v=3uv=3u, donc les vecteurs sont colinéaires. Étape 3 — Conclusion. Prendre w=(−3;2)w=(-3;2). Alors det⁡(u,w)=4+9>0\det(u,w)=4+9>0 : ce vecteur n'est pas colinéaire à uu.

Exercice 2 — Vecteurs et milieu — 2

1. Dans un repère, A(2;3)A(2;3) et B(5;5)B(5;5). Calculer AB→\overrightarrow{AB}. 2. Déterminer le milieu de [AB][AB]. 3. Calculer la distance ABAB dans un repère orthonormé.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Méthode. Arrivée moins départ donne AB→=(3;2)\overrightarrow{AB}=\boxed{(3;2)}. Étape 2 — Calcul. Le milieu a pour coordonnées la moyenne des coordonnées : (3.5;4)\boxed{(3.5;4)}. Étape 3 — Conclusion. Par Pythagore, AB=32+22=13AB=\sqrt{3^2+2^2}=\boxed{\sqrt{13}}.

Exercice 3 — Déterminant et colinéarité — cas 3

1. Soient u=(4;5)u=(4;5) et v=(8;10)v=(8;10). Calculer leur déterminant. 2. Montrer que ces vecteurs sont colinéaires. 3. Donner un vecteur non colinéaire à uu et le prouver.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Méthode. Le déterminant vaut 4×10−5×8=04\times10-5\times8=\boxed0. Étape 2 — Calcul. En effet, v=2uv=2u, donc les vecteurs sont colinéaires. Étape 3 — Conclusion. Prendre w=(−5;4)w=(-5;4). Alors det⁡(u,w)=16+25>0\det(u,w)=16+25>0 : ce vecteur n'est pas colinéaire à uu.

Exercice 4 — Vecteurs et milieu — 4

1. Dans un repère, A(4;1)A(4;1) et B(7;3)B(7;3). Calculer AB→\overrightarrow{AB}. 2. Déterminer le milieu de [AB][AB]. 3. Calculer la distance ABAB dans un repère orthonormé.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Méthode. Arrivée moins départ donne AB→=(3;2)\overrightarrow{AB}=\boxed{(3;2)}. Étape 2 — Calcul. Le milieu a pour coordonnées la moyenne des coordonnées : (5.5;2)\boxed{(5.5;2)}. Étape 3 — Conclusion. Par Pythagore, AB=32+22=13AB=\sqrt{3^2+2^2}=\boxed{\sqrt{13}}.

Exercice 5 — Déterminant et colinéarité — cas 5

1. Soient u=(2;2)u=(2;2) et v=(8;8)v=(8;8). Calculer leur déterminant. 2. Montrer que ces vecteurs sont colinéaires. 3. Donner un vecteur non colinéaire à uu et le prouver.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Méthode. Le déterminant vaut 2×8−2×8=02\times8-2\times8=\boxed0. Étape 2 — Calcul. En effet, v=4uv=4u, donc les vecteurs sont colinéaires. Étape 3 — Conclusion. Prendre w=(−2;2)w=(-2;2). Alors det⁡(u,w)=4+4>0\det(u,w)=4+4>0 : ce vecteur n'est pas colinéaire à uu.

Exercice 6 — Vecteurs et milieu — 6

1. Dans un repère, A(6;3)A(6;3) et B(9;5)B(9;5). Calculer AB→\overrightarrow{AB}. 2. Déterminer le milieu de [AB][AB]. 3. Calculer la distance ABAB dans un repère orthonormé.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Méthode. Arrivée moins départ donne AB→=(3;2)\overrightarrow{AB}=\boxed{(3;2)}. Étape 2 — Calcul. Le milieu a pour coordonnées la moyenne des coordonnées : (7.5;4)\boxed{(7.5;4)}. Étape 3 — Conclusion. Par Pythagore, AB=32+22=13AB=\sqrt{3^2+2^2}=\boxed{\sqrt{13}}.

Exercice 7 — Déterminant et colinéarité — cas 7

1. Soient u=(4;4)u=(4;4) et v=(12;12)v=(12;12). Calculer leur déterminant. 2. Montrer que ces vecteurs sont colinéaires. 3. Donner un vecteur non colinéaire à uu et le prouver.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Méthode. Le déterminant vaut 4×12−4×12=04\times12-4\times12=\boxed0. Étape 2 — Calcul. En effet, v=3uv=3u, donc les vecteurs sont colinéaires. Étape 3 — Conclusion. Prendre w=(−4;4)w=(-4;4). Alors det⁡(u,w)=16+16>0\det(u,w)=16+16>0 : ce vecteur n'est pas colinéaire à uu.

Exercice 8 — Vecteurs et milieu — 8

1. Dans un repère, A(8;1)A(8;1) et B(11;3)B(11;3). Calculer AB→\overrightarrow{AB}. 2. Déterminer le milieu de [AB][AB]. 3. Calculer la distance ABAB dans un repère orthonormé.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Méthode. Arrivée moins départ donne AB→=(3;2)\overrightarrow{AB}=\boxed{(3;2)}. Étape 2 — Calcul. Le milieu a pour coordonnées la moyenne des coordonnées : (9.5;2)\boxed{(9.5;2)}. Étape 3 — Conclusion. Par Pythagore, AB=32+22=13AB=\sqrt{3^2+2^2}=\boxed{\sqrt{13}}.

Exercice 9 — Déterminant et colinéarité — cas 9

1. Soient u=(2;6)u=(2;6) et v=(4;12)v=(4;12). Calculer leur déterminant. 2. Montrer que ces vecteurs sont colinéaires. 3. Donner un vecteur non colinéaire à uu et le prouver.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Méthode. Le déterminant vaut 2×12−6×4=02\times12-6\times4=\boxed0. Étape 2 — Calcul. En effet, v=2uv=2u, donc les vecteurs sont colinéaires. Étape 3 — Conclusion. Prendre w=(−6;2)w=(-6;2). Alors det⁡(u,w)=4+36>0\det(u,w)=4+36>0 : ce vecteur n'est pas colinéaire à uu.

Exercice 10 — Vecteurs et milieu — 10

1. Dans un repère, A(10;3)A(10;3) et B(13;5)B(13;5). Calculer AB→\overrightarrow{AB}. 2. Déterminer le milieu de [AB][AB]. 3. Calculer la distance ABAB dans un repère orthonormé.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Méthode. Arrivée moins départ donne AB→=(3;2)\overrightarrow{AB}=\boxed{(3;2)}. Étape 2 — Calcul. Le milieu a pour coordonnées la moyenne des coordonnées : (11.5;4)\boxed{(11.5;4)}. Étape 3 — Conclusion. Par Pythagore, AB=32+22=13AB=\sqrt{3^2+2^2}=\boxed{\sqrt{13}}.

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