3ème — Brevet

Théorème de Thalès en 3ème : exercices corrigés pour le Brevet

Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs quand deux droites sont parallèles ; sa réciproque permet de prouver qu'elles le sont. C'est un classique du Brevet. Voici l'essentiel à retenir puis trois exercices rédigés comme on l'attend à l'examen.

L'essentiel à retenir

Si $M \in (AB)$ , $N \in (AC)$ et $(MN) \parallel (BC)$ , alors $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ .
Réciproque : si les points sont alignés dans le même ordre et $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ , alors $(MN) \parallel (BC)$ .
Si les rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles.

Exercice 1 — Calculer deux longueurs

Dans le triangle

ABC

M

est sur

[AB]

N

sur

[AC]

avec

(MN) \parallel (BC)

. On donne

AM = 3

cm,

AB = 5

cm,

AC = 7{,}5

cm et

BC = 6

cm. Calculer

AN

MN

Corrigé détaillé

Les droites

(MN)

(BC)

sont parallèles,

M \in [AB]

N \in [AC]

: d'après le théorème de Thalès,

\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}

, soit

\dfrac{3}{5} = \dfrac{AN}{7{,}5} = \dfrac{MN}{6}

AN = \dfrac{3 \times 7{,}5}{5} = 4{,}5

cm et

MN = \dfrac{3 \times 6}{5} = 3{,}6

cm.

Exercice 2 — Réciproque : parallèles ou non ?

Les points

A, M, B

sont alignés dans cet ordre, ainsi que

A, N, C

Avec $AM = 4$ , $AB = 10$ , $AN = 6$ , $AC = 15$ : les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
Même question avec $AM = 3$ , $AB = 8$ , $AN = 4$ , $AC = 10$ .

Corrigé détaillé

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4$ et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{6}{15} = 0{,}4$ . Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre : d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN) \parallel (BC)$ .
$\dfrac{3}{8} = 0{,}375$ et $\dfrac{4}{10} = 0{,}4$ . Les rapports sont différents : les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Exercice 3 — Hauteur d'un arbre grâce à son ombre

Au même moment, un bâton vertical de 1,5 m projette une ombre de 2 m, et un arbre vertical projette une ombre de 12 m. Les rayons du soleil sont parallèles. Calculer la hauteur de l'arbre.

Corrigé détaillé

Le bâton et l'arbre sont verticaux donc parallèles ; les rayons sont parallèles. On a une configuration de Thalès (triangles semblables), d'où :

\dfrac{h}{1{,}5} = \dfrac{12}{2}

, soit

h = 1{,}5 \times 6 = 9

. L'arbre mesure 9 m.

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