Première STMG

Probabilités conditionnelles en Première STMG : exercices corrigés

En STMG, les probabilités conditionnelles se lisent dans un tableau croisé d'effectifs ou dans un arbre pondéré. Le piège principal : ne pas confondre « parmi les A, la part de B » et « la part des clients qui sont A et B ». Trois exercices corrigés pour s'entraîner.

L'essentiel à retenir

  • PA(B)=P(A∩B)P(A)P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} (probabilité de BB sachant AA).
  • P(A∩B)=P(A)×PA(B)P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) : on multiplie le long d'une branche.
  • Probabilités totales : P(B)=P(A∩B)+P(A‾∩B)P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B).
  • AA et BB sont indépendants si P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B).

Exercice 1 — Tableau croisé : satisfaction des clients

Une enquête auprès de 200 clients donne :
SatisfaitNon satisfaitTotal
Achat en ligne9030120
Achat en magasin503080
Total14060200
On choisit un client au hasard. LL : « achat en ligne », SS : « satisfait ».
  1. Calculer P(S)P(S) et P(L∩S)P(L \cap S).
  2. Calculer PL(S)P_L(S).
  3. Calculer PS(L)P_S(L).
Corrigé détaillé
  1. P(S)=140200=0,7P(S) = \dfrac{140}{200} = 0{,}7 et P(L∩S)=90200=0,45P(L \cap S) = \dfrac{90}{200} = 0{,}45.
  2. Parmi les 120 clients en ligne, 90 sont satisfaits : PL(S)=90120=0,75P_L(S) = \dfrac{90}{120} = 0{,}75.
  3. Parmi les 140 clients satisfaits, 90 ont acheté en ligne : PS(L)=90140=914≈0,643P_S(L) = \dfrac{90}{140} = \dfrac{9}{14} \approx 0{,}643.

Exercice 2 — Arbre pondéré et probabilités totales

On donne P(A)=0,6P(A) = 0{,}6, PA(B)=0,3P_A(B) = 0{,}3 et PA‾(B)=0,5P_{\overline{A}}(B) = 0{,}5.
  1. Construire l'arbre pondéré.
  2. Calculer P(A∩B)P(A \cap B) puis P(B)P(B).
  3. Calculer PB(A)P_B(A).
Corrigé détaillé
  1. Premier niveau : AA (0,60{,}6) et A‾\overline{A} (0,40{,}4). Après AA : BB (0,30{,}3), B‾\overline{B} (0,70{,}7). Après A‾\overline{A} : BB (0,50{,}5), B‾\overline{B} (0,50{,}5).
  2. P(A∩B)=0,6×0,3=0,18P(A \cap B) = 0{,}6 \times 0{,}3 = 0{,}18 ; P(A‾∩B)=0,4×0,5=0,2P(\overline{A} \cap B) = 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2. Donc P(B)=0,18+0,2=0,38P(B) = 0{,}18 + 0{,}2 = 0{,}38.
  3. PB(A)=P(A∩B)P(B)=0,180,38=919≈0,474P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}18}{0{,}38} = \dfrac{9}{19} \approx 0{,}474.

Exercice 3 — Indépendance de deux événements

On donne P(A)=0,4P(A) = 0{,}4, P(B)=0,5P(B) = 0{,}5 et P(A∩B)=0,2P(A \cap B) = 0{,}2. Les événements AA et BB sont-ils indépendants ?
Corrigé détaillé
P(A)×P(B)=0,4×0,5=0,2=P(A∩B)P(A) \times P(B) = 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2 = P(A \cap B). Les événements AA et BB sont indépendants (on vérifie aussi PA(B)=0,20,4=0,5=P(B)P_A(B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}4} = 0{,}5 = P(B)).

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