Terminale spécialité maths

Loi binomiale en Terminale : exercices corrigés type Bac

La loi binomiale compte le nombre de succès quand on répète nn fois, de façon indépendante, une même épreuve à deux issues. Au Bac, on attend la justification du modèle, des calculs de probabilités et parfois la recherche d'un seuil. Voici les formules puis trois exercices corrigés.

L'essentiel à retenir

  • Si X∼B(n,p)X \sim \mathcal{B}(n, p) : P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}.
  • E(X)=npE(X) = np, V(X)=np(1−p)V(X) = np(1-p), σ(X)=np(1−p)\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}.
  • « Au moins un succès » : P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(1−p)nP(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n.

Exercice 1 — Calculs de base

Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(10;0,3)\mathcal{B}(10 ; 0{,}3).
  1. Calculer P(X=2)P(X = 2), arrondi à 10−410^{-4}.
  2. Calculer E(X)E(X), V(X)V(X) et σ(X)\sigma(X) (arrondi à 10−210^{-2}).
Corrigé détaillé
  1. P(X=2)=(102)×0,32×0,78=45×0,09×0,78≈0,2335P(X = 2) = \dbinom{10}{2} \times 0{,}3^2 \times 0{,}7^8 = 45 \times 0{,}09 \times 0{,}7^8 \approx 0{,}2335.
  2. E(X)=10×0,3=3E(X) = 10 \times 0{,}3 = 3 ; V(X)=10×0,3×0,7=2,1V(X) = 10 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 2{,}1 ; σ(X)=2,1≈1,45\sigma(X) = \sqrt{2{,}1} \approx 1{,}45.

Exercice 2 — QCM répondu au hasard

Un QCM comporte 5 questions indépendantes, chacune avec 4 réponses dont une seule juste. Un élève répond au hasard. On note XX le nombre de bonnes réponses.
  1. Justifier que XX suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
  2. Calculer la probabilité d'avoir au moins une bonne réponse.
  3. Calculer la probabilité d'avoir les 5 bonnes réponses.
Corrigé détaillé
  1. On répète 5 fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues : succès « bonne réponse » de probabilité 14=0,25\dfrac{1}{4} = 0{,}25. Donc X∼B(5;0,25)X \sim \mathcal{B}(5 ; 0{,}25).
  2. P(X≥1)=1−0,755=1−0,2373046875≈0,7627P(X \geq 1) = 1 - 0{,}75^5 = 1 - 0{,}2373046875 \approx 0{,}7627.
  3. P(X=5)=0,255=0,0009765625≈0,0010P(X = 5) = 0{,}25^5 = 0{,}0009765625 \approx 0{,}0010.

Exercice 3 — Recherche d'un seuil

Une machine produit des pièces dont 2 % sont défectueuses, indépendamment les unes des autres. On prélève nn pièces. Déterminer le plus petit entier nn tel que la probabilité d'obtenir au moins une pièce défectueuse soit supérieure ou égale à 0,50{,}5.
Corrigé détaillé
Le nombre de pièces défectueuses suit B(n;0,02)\mathcal{B}(n ; 0{,}02). On veut 1−0,98n≥0,51 - 0{,}98^n \geq 0{,}5, soit 0,98n≤0,50{,}98^n \leq 0{,}5. La fonction ln⁡\ln est croissante : nln⁡(0,98)≤ln⁡(0,5)n \ln(0{,}98) \leq \ln(0{,}5). Comme ln⁡(0,98)<0\ln(0{,}98) < 0, on change le sens : n≥ln⁡(0,5)ln⁡(0,98)≈34,3n \geq \dfrac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}98)} \approx 34{,}3. Donc n=35n = 35. Vérification : 1−0,9834≈0,497<0,51 - 0{,}98^{34} \approx 0{,}497 < 0{,}5 et 1−0,9835≈0,507≥0,51 - 0{,}98^{35} \approx 0{,}507 \geq 0{,}5.

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