Première spécialité maths

Dérivation en Première : exercices corrigés pas à pas

La dérivée mesure la pente de la courbe en chaque point. Elle sert à écrire l'équation d'une tangente et à étudier les variations d'une fonction. Voici les formules à connaître puis trois exercices types du programme de Première spécialité, corrigés étape par étape.

L'essentiel à retenir

$(x^n)' = n\,x^{n-1}$ , $(ku)' = k\,u'$ , $(u+v)' = u' + v'$ .
$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Tangente en $a$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .
Si $f' > 0$ sur un intervalle, $f$ y est croissante ; si $f' < 0$ , décroissante.

Exercice 1 — Variations d'un polynôme de degré 3

Soit

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2

définie sur

\mathbb{R}

Calculer $f'(x)$ et la factoriser.
Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ .
Donner les extremums locaux.

Corrigé détaillé

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ .
$f'(x)$ s'annule en $0$ et en $2$ . C'est un trinôme de coefficient $3 > 0$ : il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Donc $f$ est croissante sur $]-\infty ; 0]$ , décroissante sur $[0 ; 2]$ , croissante sur $[2 ; +\infty[$ .
$f(0) = 2$ est un maximum local ; $f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$ est un minimum local.

Exercice 2 — Équation d'une tangente

Soit

g(x) = x^2 + 1

. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de

g

au point d'abscisse

a = 1

Corrigé détaillé

g(1) = 1 + 1 = 2

g'(x) = 2x

, donc

g'(1) = 2

. La tangente a pour équation

y = g'(1)(x - 1) + g(1) = 2(x - 1) + 2

, soit

y = 2x

Exercice 3 — Dérivée d'un quotient

Soit

h(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}

définie pour

x \neq 3

Calculer $h'(x)$ .
En déduire les variations de $h$ .

Corrigé détaillé

Avec $u = 2x + 1$ ( $u' = 2$ ) et $v = x - 3$ ( $v' = 1$ ) : $h'(x) = \dfrac{2(x - 3) - (2x + 1) \times 1}{(x - 3)^2} = \dfrac{-7}{(x - 3)^2}$ .
Le numérateur vaut $-7 < 0$ et le dénominateur est strictement positif. Donc $h'(x) < 0$ : $h$ est décroissante sur $]-\infty ; 3[$ et sur $]3 ; +\infty[$ .

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