Première STMG

Suites arithmétiques en Première STMG : exercices corrigés

Une suite arithmétique augmente (ou diminue) toujours de la même quantité d'un terme au suivant. En STMG, on la rencontre dans des situations concrètes : abonnés, salaires, stocks. Cette page rappelle les trois formules utiles puis propose trois exercices avec un corrigé détaillé.

L'essentiel à retenir

  • Définition : un+1=un+ru_{n+1} = u_n + r, où rr est la raison.
  • Terme général : un=u0+n ru_n = u_0 + n\,r.
  • Somme de termes consécutifs : S=nombre de termes×premier+dernier2S = \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}.

Exercice 1 — Terme général et seuil

Une suite (un)(u_n) est arithmétique de premier terme u0=200u_0 = 200 et de raison r=20r = 20.
  1. Exprimer unu_n en fonction de nn.
  2. Calculer u10u_{10}.
  3. À partir de quel rang nn a-t-on un≥500u_n \geq 500 ?
Corrigé détaillé
  1. un=u0+n r=200+20nu_n = u_0 + n\,r = 200 + 20n.
  2. u10=200+20×10=400u_{10} = 200 + 20 \times 10 = 400.
  3. On résout 200+20n≥500200 + 20n \geq 500, soit 20n≥30020n \geq 300, donc n≥15n \geq 15. À partir du rang n=15n = 15, on a un≥500u_n \geq 500 (en effet u15=500u_{15} = 500).

Exercice 2 — Abonnés d'une salle de sport

Une salle de sport compte 1 200 abonnés en 2024 et gagne 150 abonnés chaque année. On note unu_n le nombre d'abonnés en 2024+n2024 + n.
  1. Justifier que (un)(u_n) est arithmétique et donner u0u_0 et rr.
  2. Combien d'abonnés la salle comptera-t-elle en 2030 ?
  3. Calculer u0+u1+⋯+u6u_0 + u_1 + \dots + u_6.
Corrigé détaillé
  1. Chaque année on ajoute 150 : un+1=un+150u_{n+1} = u_n + 150. La suite est arithmétique, avec u0=1 200u_0 = 1\,200 et r=150r = 150.
  2. 2030 correspond à n=6n = 6 : u6=1 200+6×150=2 100u_6 = 1\,200 + 6 \times 150 = 2\,100 abonnés.
  3. La somme compte 7 termes, de u0=1 200u_0 = 1\,200 à u6=2 100u_6 = 2\,100 : S=7×1 200+2 1002=7×1 650=11 550S = 7 \times \dfrac{1\,200 + 2\,100}{2} = 7 \times 1\,650 = 11\,550.

Exercice 3 — Reconnaître une suite arithmétique

Pour tout entier nn, on pose un=3n−4u_n = 3n - 4 et vn=n2v_n = n^2.
  1. La suite (un)(u_n) est-elle arithmétique ?
  2. La suite (vn)(v_n) est-elle arithmétique ?
Corrigé détaillé
  1. un+1−un=3(n+1)−4−(3n−4)=3u_{n+1} - u_n = 3(n+1) - 4 - (3n - 4) = 3. La différence est constante : (un)(u_n) est arithmétique de raison 33 et de premier terme u0=−4u_0 = -4.
  2. v0=0v_0 = 0, v1=1v_1 = 1, v2=4v_2 = 4. Alors v1−v0=1v_1 - v_0 = 1 mais v2−v1=3v_2 - v_1 = 3. La différence n'est pas constante : (vn)(v_n) n'est pas arithmétique.

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