3ème / Brevet

Théorème de Pythagore et réciproque — 10 exercices corrigés de 3ème / Brevet

Réviser théorème de pythagore et réciproque avec 10 exercices de difficulté progressive. Chaque exercice comprend trois questions séparées et un corrigé détaillé en trois étapes. Programme français de 3e applicable en 2026-2027 et préparation au Brevet.

L'essentiel à retenir

  • Dans un triangle rectangle : hypoténuse² = somme des deux autres carrés.
  • Identifier l'hypoténuse avant le calcul.
  • La longueur obtenue est la racine carrée positive.
  • La réciproque de Pythagore permet de reconnaître un triangle rectangle.
  • Comparer le carré du plus grand côté à la somme des deux autres carrés.

Exercice 1 — Triangle rectangle et Pythagore — 1

1. Dans ABCABC rectangle en A, AB=5AB=5 cm, AC=12AC=12 cm. Écrire l'égalité de Pythagore. 2. Calculer BCBC. 3. Vérifier l'égalité obtenue.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Méthode. Comme BC est l'hypoténuse, BC2=AB2+AC2BC^2=AB^2+AC^2. Étape 2 — Calcul. BC2=25+144=169BC^2=25+144=169 ; donc BC=13 cm\boxed{BC=13\,\mathrm{cm}}. Étape 3 — Conclusion. Le calcul 52+122=1325^2+12^2=13^2 est vérifié. Une longueur est positive.

Exercice 2 — Réciproque du théorème de Pythagore — cas 2

1. Un triangle possède des côtés de longueurs 8 cm, 15 cm et 18 cm. Identifier le plus long. 2. Comparer le carré du plus long côté à la somme des carrés des deux autres. 3. Dire si ce triangle est rectangle en justifiant par la réciproque ou la contraposée de Pythagore.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Méthode. Le plus long côté a pour longueur 18 cm. Étape 2 — Calcul. Son carré vaut 324. La somme des deux autres carrés vaut 8²+15²=289. Étape 3 — Conclusion. Les deux valeurs diffèrent : le triangle n’est pas rectangle, d’après la contraposée du théorème. La comparaison est l’argument décisif.

Exercice 3 — Triangle rectangle et Pythagore — 3

1. Dans ABCABC rectangle en A, AB=7AB=7 cm, AC=24AC=24 cm. Écrire l'égalité de Pythagore. 2. Calculer BCBC. 3. Vérifier l'égalité obtenue.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Méthode. Comme BC est l'hypoténuse, BC2=AB2+AC2BC^2=AB^2+AC^2. Étape 2 — Calcul. BC2=49+576=625BC^2=49+576=625 ; donc BC=25 cm\boxed{BC=25\,\mathrm{cm}}. Étape 3 — Conclusion. Le calcul 72+242=2527^2+24^2=25^2 est vérifié. Une longueur est positive.

Exercice 4 — Réciproque du théorème de Pythagore — cas 4

1. Un triangle possède des côtés de longueurs 6 cm, 8 cm et 11 cm. Identifier le plus long. 2. Comparer le carré du plus long côté à la somme des carrés des deux autres. 3. Dire si ce triangle est rectangle en justifiant par la réciproque ou la contraposée de Pythagore.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Méthode. Le plus long côté a pour longueur 11 cm. Étape 2 — Calcul. Son carré vaut 121. La somme des deux autres carrés vaut 6²+8²=100. Étape 3 — Conclusion. Les deux valeurs diffèrent : le triangle n’est pas rectangle, d’après la contraposée du théorème. La comparaison est l’argument décisif.

Exercice 5 — Triangle rectangle et Pythagore — 5

1. Dans ABCABC rectangle en A, AB=3AB=3 cm, AC=4AC=4 cm. Écrire l'égalité de Pythagore. 2. Calculer BCBC. 3. Vérifier l'égalité obtenue.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Méthode. Comme BC est l'hypoténuse, BC2=AB2+AC2BC^2=AB^2+AC^2. Étape 2 — Calcul. BC2=9+16=25BC^2=9+16=25 ; donc BC=5 cm\boxed{BC=5\,\mathrm{cm}}. Étape 3 — Conclusion. Le calcul 32+42=523^2+4^2=5^2 est vérifié. Une longueur est positive.

Exercice 6 — Réciproque du théorème de Pythagore — cas 6

1. Un triangle possède des côtés de longueurs 5 cm, 12 cm et 14 cm. Identifier le plus long. 2. Comparer le carré du plus long côté à la somme des carrés des deux autres. 3. Dire si ce triangle est rectangle en justifiant par la réciproque ou la contraposée de Pythagore.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Méthode. Le plus long côté a pour longueur 14 cm. Étape 2 — Calcul. Son carré vaut 196. La somme des deux autres carrés vaut 5²+12²=169. Étape 3 — Conclusion. Les deux valeurs diffèrent : le triangle n’est pas rectangle, d’après la contraposée du théorème. La comparaison est l’argument décisif.

Exercice 7 — Triangle rectangle et Pythagore — 7

1. Dans ABCABC rectangle en A, AB=8AB=8 cm, AC=15AC=15 cm. Écrire l'égalité de Pythagore. 2. Calculer BCBC. 3. Vérifier l'égalité obtenue.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Méthode. Comme BC est l'hypoténuse, BC2=AB2+AC2BC^2=AB^2+AC^2. Étape 2 — Calcul. BC2=64+225=289BC^2=64+225=289 ; donc BC=17 cm\boxed{BC=17\,\mathrm{cm}}. Étape 3 — Conclusion. Le calcul 82+152=1728^2+15^2=17^2 est vérifié. Une longueur est positive.

Exercice 8 — Réciproque du théorème de Pythagore — cas 8

1. Un triangle possède des côtés de longueurs 7 cm, 24 cm et 26 cm. Identifier le plus long. 2. Comparer le carré du plus long côté à la somme des carrés des deux autres. 3. Dire si ce triangle est rectangle en justifiant par la réciproque ou la contraposée de Pythagore.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Méthode. Le plus long côté a pour longueur 26 cm. Étape 2 — Calcul. Son carré vaut 676. La somme des deux autres carrés vaut 7²+24²=625. Étape 3 — Conclusion. Les deux valeurs diffèrent : le triangle n’est pas rectangle, d’après la contraposée du théorème. La comparaison est l’argument décisif.

Exercice 9 — Triangle rectangle et Pythagore — 9

1. Dans ABCABC rectangle en A, AB=6AB=6 cm, AC=8AC=8 cm. Écrire l'égalité de Pythagore. 2. Calculer BCBC. 3. Vérifier l'égalité obtenue.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Méthode. Comme BC est l'hypoténuse, BC2=AB2+AC2BC^2=AB^2+AC^2. Étape 2 — Calcul. BC2=36+64=100BC^2=36+64=100 ; donc BC=10 cm\boxed{BC=10\,\mathrm{cm}}. Étape 3 — Conclusion. Le calcul 62+82=1026^2+8^2=10^2 est vérifié. Une longueur est positive.

Exercice 10 — Réciproque du théorème de Pythagore — cas 10

1. Un triangle possède des côtés de longueurs 3 cm, 4 cm et 6 cm. Identifier le plus long. 2. Comparer le carré du plus long côté à la somme des carrés des deux autres. 3. Dire si ce triangle est rectangle en justifiant par la réciproque ou la contraposée de Pythagore.
Corrigé détaillé
Étape 1 — Méthode. Le plus long côté a pour longueur 6 cm. Étape 2 — Calcul. Son carré vaut 36. La somme des deux autres carrés vaut 3²+4²=25. Étape 3 — Conclusion. Les deux valeurs diffèrent : le triangle n’est pas rectangle, d’après la contraposée du théorème. La comparaison est l’argument décisif.

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